题目内容

若 $数学公式$ 为奇函数．
（1）判断它的单调性；
（2）求f（x）的值域．

解：（1）∵f（x）是奇函数，且在x=0处有定义，
∴f（0）=0，∴a=1，
∴ $\text{[math]}$
设x₁＜x₂，则 $\text{[math]}$
∵x₁＜x₂则 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
故f（x）在R上递增．
（2）令 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．由于2^x＞0，所以 $\text{[math]}$ ，解得-1＜y＜1
故f（x）的值域是（-1，1）．
分析：（1）由f（x）是奇函数，可得f（0）=0，从而可求a及函数f（x），要证明函数f（x）单调性，只要任设x₁＜x₂，然后比较f（x₁）与f（x₂）的大小即可
（2）利用反解法，由 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ．结合2^x＞0可求函数的值域
点评：本题主要考查了利用奇函数的性质：奇函数得定义域内有0，则f（0）=0在求解函数解析式中的应用，应用该性质可以简化运算，反解法求解函数的值域常见在函数中含有2^x，sinx，cosx等自身有范围限制得函数中．