Question

已知定义域为R的函数f(x)=

1

2x+1

+a为奇函数．
（1）求a的值；
（2）证明函数f（x）在R上是减函数；
（3）若不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0对任意的实数t恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用奇函数定义f（x）=-f（x）中的特殊值求a的值；
（2）按按取点，作差，变形，判断的过程来即可．
（3）首先确定函数f（x）的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0转化为关于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围．

解答：解：（1）因为f（x）是奇函数，函数的定义域为R，所以f（x）=0，
即

1

20+1

+a=0?a=-

1

2

（2）证明：设x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=

1

2x1+1

-

1

2x2+1

=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

∵y=2^x在实数集上是增函数且函数值恒大于0，故 2x₂-2x₁＞0，2x₁+1＞0，2x₂+1＞0．
即f（x₁）-f（x₂）＞0．
∴f（x）在R上是单调减函数
（3）由（2）知f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．
又因为f（x）是奇函数，
所以f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0
等价于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），
因为f（x）为减函数，由上式可得：t²-2t＞k-2t²．
即对一切t∈R有：3t²-2t-k＞0，
从而判别式△=4+12k＜0?k＜-

1

3

．
所以k的取值范围是k＜-

1

3

．

点评：本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略．