Question

已知m为常数，函数f(x)=

m-2x

1+m•2x

为奇函数．
（1）求m的值；
（2）若m＞0，试判断f（x）的单调性（不需证明）；
（3）若m＞0，存在x∈[-2，2]，使f（x²-2x-k）+f（2）≤0，求实数k的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用函数是奇函数，建立方程f（-x）=-f（x），然后求m．
（2）利用指数函数的性质，判断函数的单调性．
（3）利用函数的奇偶性和单调性将不等式进行转化，进而求实数k的最大值．

解答：解：（1）∵函数f(x)=

m-2x

1+m•2x

为奇函数．
∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）+f（x）=0，得

m-2-x

1+m•2-x

+

m-2x

1+m•2x

=0，
∴整理得（m²-1）（2^x+2^-x）=0恒成立，
即m²=1，∴m=±1．
（2）∵m＞0，∴m=1，
此时函数f（x）=

1-2x

1+2x

在R上单调递减．
（3）∵f（x²-2x-k）+f（2）≤0，
∴f（x²-2x-k）≤-f（2）=f（-2），
∵函数f（x）=

1-2x

1+2x

在R上单调递减．
∴x²-2x-k≥-2，
即k≤x²-2x+2．
而g（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，
∵x∈[-2，2]，
∴当x=-2时，g（x）有最大值g（-2）=10．
∴k≤10，从而k_max=10．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，考查学生分析命题，解决问题的能力．综合性较强．