Question

设(

2

2

+x)2n=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2n-1x^2n-1+a_2nx²ⁿ，则（a₀+a₂+…+a_2n）²-（a₁+a₃+…+a_2n-1）²=

(

1

4

)n

．

Answer 1

分析：在所给的条件中，令x=1可得一个等式，再令x=-1又可得到一个等式，再根据（a₀+a₂+…+a_2n）²-（a₁+a₃+…+a_2n-1）² =（a0+a1+a2+a3+…+a2n）（a0-a1+a2-a3+…+a2n），运算求得结果．

解答：解：在设(

2

2

+x)2n=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2n-1x^2n-1+a_2nx²ⁿ中，
令x=1可得 a0+a1+a2+a3+…+a2n=(

2

2

+1)2n，
再令x=-1可得 a0-a1+a2-a3+…+a2n=(

2

2

-1)2n，
（a₀+a₂+…+a_2n）²-（a₁+a₃+…+a_2n-1）² =（a0+a1+a2+a3+…+a2n）（a0-a1+a2-a3+…+a2n）
=(

2

2

+1)2n•(

2

2

-1)2n=

1

4n

，
故答案为

1

4n

．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，通过给变量取值求得展开式的系数和，属于中档题．