题目内容
设(
+x)2n=a0+a1x+a2x2+…+a2n-1x2n-1+a2nx2n，则
[（a0+a2+a4+…+a2n）2-（a1+a3+a5+…+a2n-1）2]=（ ）
| ||
| 2 |
| lim |
| n→∞ |
| A、-1 | ||
| B、0 | ||
| C、1 | ||
D、
|
分析：本题因为求极限的数为二项式展开式的奇数项的系数和的平方与偶数项的系数和的平方的差，故可以把x赋值为1代入二项展开式中，求出A=a0+a1+a2+a3+…a2n-1+a2n=(
+1)2n，再令x=-1，可得到B=a0-a1+a2-a3+a4-a5+…-a2n-1+a2n=(
-1)2n，而求极限的数由平方差公式可以知道就是式子A与B的乘积，代入后由平方差公式即可化简为求得答案．
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| 2 |
| ||
| 2 |
解答：解：令x=1和x=-1分别代入二项式(
+x)2n=a0+a1x+a2x2+…+a2n-1x2n-1+a2nx2n中得
a0+a1+a2+a3+…a2n-1+a2n=(
+1)2n，a0-a1+a2-a3+a4-a5+…-a2n-1+a2n=(
-1)2n由平方差公式
得（a0+a2+a4+…+a2n）2-（a1+a3+a5+…+a2n-1）2=（a0+a1+a2+a3+…a2n-1+a2n）（a0-a1+a2-a3+a4-a5+…-a2n-1+a2n）═(
+1)2n(
-1)2n=(
-1)2n=(
)n所以
[（a0+a2+a4+…+a2n）2-（a1+a3+a5+…+a2n-1）2]=
(
)n=0
故选择B
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| 2 |
a0+a1+a2+a3+…a2n-1+a2n=(
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| 2 |
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| 2 |
得（a0+a2+a4+…+a2n）2-（a1+a3+a5+…+a2n-1）2=（a0+a1+a2+a3+…a2n-1+a2n）（a0-a1+a2-a3+a4-a5+…-a2n-1+a2n）═(
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| 2 |
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| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| lim |
| n→∞ |
| lim |
| n→∞ |
| 1 |
| 4 |
故选择B
点评：本题主要考查了二项式定理的应用问题，主要是二项式系数和差的考查，并兼顾考查了学生的计算能力与划归能力以及求极限问题．
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