Question

（2012•青岛二模）已知集合A={x|x=-2n-1，n∈N^*}，B={x|x=-6n+3，n∈N^*}，设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若{a_n}的任一项a_n∈A∩B，且首项a₁是A∩B中的最大数，-750＜S₁₀＜-300．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足bn=(

2

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)an+13n-9，求a₁b₂-b₂a₃+a₃b₄-b₄a₅+…+a_2n-1b_2n-b_2na_2n+1的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设知：集合A中所有元素可以组成以-3为首项，-2为公差的递减等差数列；集合B中所有的元素可以组成以-3为首项，-6为公差的递减等差数列，进而确定a₁=-3，d=-12，从而可得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求出数列{b_n}的通项，进而分组，再利用等比数列的求和公式求和即可．

解答：解：（Ⅰ）由题设知：集合A中所有元素可以组成以-3为首项，-2为公差的递减等差数列；集合B中所有的元素可以组成以-3为首项，-6为公差的递减等差数列．
由此可得，对任意的n∈N^*，有A∩B=B，A∩B中的最大数为-3，即a₁=-3…（3分）
设等差数列{a_n}的公差为d，则a_n=-3+（n-1）d，S10=

10(a1+a10)

2

=45d-30
因为-750＜S₁₀＜-300，∴-750＜45d-30＜-300，即-16＜d＜-6
由于B中所有的元素可以组成以-3为首项，-6为公差的递减等差数列，
所以d=-6m（m∈Z，m≠0），由-16＜-6m＜-6，所以m=2，所以d=-12
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=9-12n（n∈N^*） …（8分）
（Ⅱ）bn=(

2

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)an+13n-9=(

2

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)n…（9分）
于是有a₁b₂-b₂a₃+a₃b₄-b₄a₅+…+a_2n-1b_2n-b_2na_2n+1=b₂（a₁-a₃）+b₄（a₃-a₅）+b₆（a₅-a₇）+…+b_2n（a_2n-1-a_2n+1）
=24(b2+b4+b6+…+b2n)=24×

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=24(1-

1

2n

)…（12分）

点评：本题考查数列的通项与求和，确定数列的首项与公差，正确运用数列的求和方法是关键．