Question

【题目】如图, 是边长为的正方形，平面平面， ， , , .

（1）求证：面面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】试题分析：（1）由平面平面， 可推出，再根据是正方形，可推出平面，从而可证平面；（2）根据题设条件建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，即可求出直线与平面所成角的正弦值；（3）点在线段上，设， ，求出平面的法向量，根据二面角的大小为，即可求出.

试题解析：(1)证明：∵， ， ，

∴.

∵

∴

又∵是正方形

∴

∵， ，

∴平面.

又∵

∴ .

(2)解：因为两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示，则， ， ， ， ，

， ，

设平面的法向量为， ,即， ,则

∴.

∴直线与平面所成角的正弦值为.

(3)解：点在线段上，设， ，则，

设平面的法向量为，则

,即，

令则， ，整理得：

解得： ， 此时.