Question

19．函数y=$\frac{2{x}^{2}+2x+1}{{x}^{2}+x+1}$的取值范围为[-$\frac{2}{5}$，2）．

Answer 1

分析 求出函数的定义域，利用判别式△法进行求解即可．

解答 解：∵x²+x+1＞0恒成立，
∴函数的定义域为（-∞，+∞），
由y=$\frac{2{x}^{2}+2x+1}{{x}^{2}+x+1}$得（x²+x+1）y=2x²+2x+1，
即（2-y）x²+（2-y）x+1-y=0，
若y=2，在方程等价为1-2=0，即-1=0，则方程不成立，
∴y≠2，
则由判别式△≥0得（2-y）²-4（2-y）（1-y）=（2-y）[2-y-4（1+y）]≥0，
即（y-2）（5y+2）≤0，
解得-$\frac{2}{5}$≤y≤2，
∵y≠2，
∴-$\frac{2}{5}$≤y＜2，
即函数的值域为[-$\frac{2}{5}$，2），
故答案为：[-$\frac{2}{5}$，2）

点评 本题主要考查函数值域的求解，利用判别式法是解决本题的关键．