Question

10．已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₂且倾斜角为60°的直线与双曲线右支交于A、B两点，求离心率的范围．

Answer 1

分析 若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个交点，则该直线的斜率的绝对值大于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．

解答 解：设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$的右焦点为F，
若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个交点，
则该直线的斜率的绝对值大于渐近线的斜率$\frac{b}{a}$，
∴$\frac{b}{a}≤tan60°=\sqrt{3}$，离心率1＜e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}{+a}^{2}}{{a}^{2}}$≤1+3=4，
∴1＜e＜2，
离心率的范围为：（1，2）．

点评 本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．