Question

（满分15分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为 
（1）求椭圆的方程 
（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C D两点 问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由 

Answer 1

（1）；（2）存在，使得以CD为直径的圆过点E.

第一问中利用A（0，-b）和B（a，0）的坐标，设出直线方程，然后利用椭圆的性质得到
然后求解得到a,b的值。从而得到椭圆方程
第二问中，联立方程组，直线与椭圆联立得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理，以及以CD为直径的圆过E点，即当且仅当CE⊥DE时，可知k的值。
解：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0 依题意　解得　
∴　椭圆方程为　  ………………6分
（2）假若存在这样的k值，由得 
　∴　 　　　①
　　设， ，，则　②
　　而  ………………10分
　　要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则，即 ∴　 ③
　　将②式代入③整理解得 经验证，，使①成立 
　　综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E  ………………15分