Question

已知命题p：方程

x2

2m

-

y2

m-1

=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线

y2

5

-

x2

m

=1的离心率e∈（1，2），若p、q有且只有一个为真，求m的取值范围．

Answer 1

分析：根据题意求出命题p、q为真时m的范围分别为0＜m＜

1

3

、0＜m＜15．由p、q有且只有一个为真得p真q假，或p假q真，进而求出答案即可．

解答：解：将方程

x2

2m

-

y2

m-1

=1改写为

x2

2m

+

y2

1-m

=1，
只有当1-m＞2m＞0，即0＜m＜

1

3

时，方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，所以命题p等价于0＜m＜

1

3

；（4分）
因为双曲线

y2

5

-

x2

m

=1的离心率e∈（1，2），
所以m＞0，且1＜

5+m

5

＜4，解得0＜m＜15，
所以命题q等价于0＜m＜15；…（8分）
若p真q假，则m∈∅；
若p假q真，则

1

3

≤m＜15
综上：m的取值范围为

1

3

≤m＜15…（12分）

点评：本小题主要考查命题的真假判断与应用、椭圆的标准方程、双曲线的简单性质、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．