Question

当x＞1时，直线y=ax-a恒在抛物线y=x²的下方，则a的取值范围是

（-∞，4）

．

Answer 1

分析：当x＞1时，直线y=ax-a恒在抛物线y=x²的下方，实际上就是在x＞1时，不等式ax-a＜x²恒成立，然后把参数a分离出来，得到a＜

x2

x-1

，求出函数f(x)=

x2

x-1

在（1，+∞）上的最小值后问题解决．

解答：解：要使当x＞1时，直线y=ax-a恒在抛物线y=x²的下方，
即不等式ax-a＜x²在x＞1时恒成立，
也就是a（x-1）＜x²在x＞1时恒成立，
因为x＞1，问题转化为a＜

x2

x-1

在x＞1时恒成立，
令f(x)=

x2

x-1

，则f(x)=

x2

x-1

=

1

-( 1 x )2+ 1 x

，
因为x＞1，所以0＜

1

x

＜1，
则-(

1

x

)2+

1

x

=-(

1

x

-

1

2

)2+

1

4

∈(0，

1

4

]，
所以f（x）_min=4．
则a＜4．
所以，当x＞1时，直线y=ax-a恒在抛物线y=x²的下方的a的取值范围是（-∞，4）．
故答案为（-∞，4）．

点评：本题考查了函数图象的关系问题，考查了数学转化思想，训练了利用分离变量法求参数的范围，本题也可以引入辅助函数利用导数来解决，是中档题．