题目内容
已知⊙O的半径为1，PA、PB为其两条切线，A、B为两切点，则
•
的最小值为（ ）
| PA |
| PB |
| A、-2 | ||
| B、2 | ||
C、3-2
| ||
D、2
|
分析：要求
•
的最小值，我们可以根据已知中，圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为俩切点，结合切线长定理，设出PA，PB的长度，和夹角，并将
•
表示成一个关于X的函数，然后根据求函数最值的办法，进行解答．
| PA |
| PB |
| PA |
| PB |
解答：
解：如图所示：设PA=PB=x（x＞0），
∠APO=α，则∠APB=2α，
PO=
，
sinα=
，
•
=
|•|
|cos2α
=x2（1-2sin2α）
=
=
，
令
•
=y，则 y=y=
，
即x4-（1+y）x2-y=0，由x2是实数，
所以△=[-（1+y）]2-4×1×（-y）≥0，y2+6y+1≥0，
解得 y≤y≤-3-2
或 y≥y≥-3+2
．
故（
•
）min=2
-3．此时 x=x=
．
故选D．
解：如图所示：设PA=PB=x（x＞0），∠APO=α，则∠APB=2α，
PO=
| 1+x2 |
sinα=
| 1 | ||
|
| PA |
| PB |
| |PA |
| PB |
=x2（1-2sin2α）
=
| x2(x2-1) |
| x2+1 |
=
| x4-x2 |
| x2+1 |
令
| PA |
| PB |
| x4-x2 |
| x2+1 |
即x4-（1+y）x2-y=0，由x2是实数，
所以△=[-（1+y）]2-4×1×（-y）≥0，y2+6y+1≥0，
解得 y≤y≤-3-2
| 2 |
| 2 |
故（
| PA |
| PB |
| 2 |
|
故选D．
点评：本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法--判别式法，同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力
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