Question

经市场调查，某种商品在120天内的日销售量和售价均为时间t（天）的函数，日销售量与时间的关系用图（1）的一条折线表示，售价与时间的关系用图（2）的一条折线表示．
（1）写出图（1）表示的日销售量Q（千克）与时间t的函数关系式Q=g（t）；
写出图（2）表示的售价（元/千克）与时间t的函数关系式P=f（t）；
（2）求日销售额y（元）与时间t的函数关系，并求出日销售额最高的是哪一天？最高的销售额是多少？（注：日销售额=日销售量×售价）

Answer 1

分析：（1）当0＜t≤60时，直线过点（0，15），（60，30），求得函数g（t）的解析式；同理60＜t≤120时，求得函数g（t），得分段函数g（t）；同理可得：当0＜t≤60时，函数f（t），当60＜t≤120时，函数f（t）；即分段函数f（t）；
（2）当0＜t≤60时，函数y=g（t）•f（t），计算最大值；当60＜t≤120时，函数y=g（t）•f（t），计算最大值；综上得：分段函数y的最大值．

解答：解：（1）当0＜t≤60时，直线过点（0，15），（60，30），所以函数g（t）=

1

4

t+15；
同理60＜t≤120时，函数g（t）=-

1

2

t+60；
∴当日销售量Q与时间t的函数关系式Q=g（t）=

1 4 t+15 (0＜t≤60) - 1 2 t+60 (60＜t≤120)

；
当0＜t≤60时，函数f（t）=-

1

3

t+40；当60＜t≤120时，函数f（t）=

1

12

t+15；
∴售价P与时间t的函数关系式P=f（t）=

- 1 3 t+40 (0＜t≤60) 1 12 t+15 (60＜t≤120)

；
（2）根据题意，当0＜t≤60时，函数y=g（t）•f（t）=-

1

12

t2+5t+600，t=30时，y有最大值，是675；当60＜t≤120时，函数y=g（t）•f（t）=-

1

24

t2 -

5

2

t+900，无最大值；
综上知：日销售额y与时间t的函数为：y=

- 1 12 t2 +5t+600 (0＜t≤60) - 1 24 t2 - 5 2 t+900 (60＜t≤120)

；
且当t=30时，y最大，即在第30天的时候销售额最大，最高额为675元．

点评：本题利用图象考查了分段函数的应用；利用图象求函数解析式时，要注意图象上的关键点，通过关键点的坐标，可得出所求的解析式．