Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，AB是半圆⊙O：x²+y²=1（y≥0）的直径，C是半圆O（除端点A、B）上的任意一点，在线段AC的延长线上取点P，使|PC|=|BC|，试求动点P的轨迹方程．

Answer 1

分析：设P（x，y），则k_PA=

y

x+1

，k_PB=

y

x-1

，由已知得PA到PB的角为45°，故有tan45°=

y x-1 - y x+1

1+ y x-1 •  y x+1

，
化简可得 点P的轨迹方程．

解答：解：连接BP，由已知得∠APB=45°，设P（x，y），则k_PA=

y

x+1

，k_PB=

y

x-1

，由PA到PB的角为45°，
得tan45°=

y x-1 - y x+1

1+ y x-1 •  y x+1

，化简得x²+（y-1）²=2．
由已知，y＞0且k_PA=

y

x+1

＞0，
故点P的轨迹方程为x²+（y-1）²=2（x＞-1，y＞0）．

点评：本题考查求点的轨迹方程的方法，一条直线到另一条直线的角的运算公式，判断PA到PB的角为45°，是
解题的关键，属于中档题．