题目内容

已知O，A，B是平面上不共线三点，设P为线段AB垂直平分线上任意一点，若|
OA
|=7，|
OB
|=5，则
OP
•(
OA
-
OB
)的值为
12
12
．
分析：设M是AB的中点，将向量
OP
表示成
OM
+
MP
，而
OA
-
OB
=
BA
，从而
OP
•(
OA
-
OB
)=
OM
•
BA
+
MP
•
BA
，再结合P为线段AB垂直平分线上任意一点，得
MP
•
BA
=0，转化为求数量积
OM
•
BA
，再用
OM
=
1
2
(
OA
+
OB
)，
OA
-
OB
=
BA
代入，得
OP
•(
OA
-
OB
)=
1
2
(|
OA
| 2-|
OB
| 2)，结合已知条件的数据，不难得出这个数量积．
解答：解：根据题意，设M是线段AB的中点，得
OP
=
OM
+
MP
，
OA
-
OB
=
BA

∴
OP
•(
OA
-
OB
)=(
OM
+
MP
)•
BA
=
OM
•
BA
+
MP
•
BA

∵
MP
与
BA
互相垂直
∴
MP
•
BA
=0
因此
OP
•(
OA
-
OB
)=
OM
•
BA

又∵△OAB中，OM是AB边上的中线
∴
OM
=
1
2
(
OA
+
OB
)
∴
OM
•
BA
=
1
2
(
OA
+
OB
) •
BA
=
1
2
(
OA
+
OB
)(
OA
-
OB
)
即
OM
•
BA
=
1
2
(|
OA
| 2-|
OB
| 2)
∵|
OA
|=7，|
OB
|=5，
∴
OP
•(
OA
-
OB
)=
OM
•
BA
=
1
2
(72-52)=12
故答案为：12
点评：本题考查了平面向量数量积的运算，着重考查了数量积在三角形中的应用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2
AC
+
CB
=0，则
OC
等于（　　）
A、2
OA
-
OB
B、-
OA
+2
OB
C、
2
3
OA
-
1
3
OB
D、-
1
3
OA
+
2
3
OB
已知O、A、B是平面上的三点，向量
O
A=
a
，
O
B=
b
，在平面AOB上，P为线段AB的垂直平分线上任一点，向量
OP
=
p
且|
a
|=3， |
b
|=2，则
p
•(
a
-
b
)值是（　　）
A、
5
2
B、5
C、3
D、
3
2
已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2
AC
+
CB
=
0
，则
OC
=
2
OA
-
OB
2
OA
-
OB
（要求用
OA
，
OB
表示）
已知O、A、B是平面上三点，直线AB上有一点C满足3
AC
+2
CB
=
0
，则
OC
等于（　　）
已知O，A，B是平面上的三点，向量
OA
=
a
.
OB
=
b
，点C是线段AB的中点，设P为线段AB的垂直平分线CP上任意一点，向量
OP
=
P
，若|
a
|=4，|
b
|=2，则
p
•(
a
-
b
)=
6
6
．

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