Question

9．在△A_nB_nC_n中，记角A_n、B_n、C_n所对的边分别为a_n、b_n、c_n，且这三角形的三边长是公差为1的等差数列，若最小边a_n=n+1，则$\underset{lim}{n→∞}$C_n=$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 不妨设c_n是边长最大的，即a_n=n+1，b_n=n+2，c_n=n+3，再根据余弦定理得出Cn的表达式，最后求极限．

解答 解：因为最小的边长为n+1，且三边成公差为1的等差数列，
所以，三边分别为n+1，n+2，n+3，
不妨设c_n是边长最大的，即a_n=n+1，b_n=n+2，c_n=n+3，
由余弦定理，cosC_n=$\frac{（n+1）^2+（n+2）^2-（n+3）^2}{2（n+1）（n+2）}$，
整理得，cosC_n=$\frac{n^2-4}{2（n^2+3n+2）}$，
又$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{n^2-4}{2（n^2+3n+2）}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1-\frac{1}{n^2}}{2（1+\frac{3}{n}+\frac{2}{n^2}）}$=$\frac{1}{2}$，
所以，$\underset{lim}{n→∞}$cosC_n=$\frac{π}{3}$，
若b_n是最大的边，解法同上，结果一致，
故填：$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查了运用余弦定理解三角形和等差数列的性质，以及数列极限的求解，涉及分类讨论思想，属于中档题．