Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆过点，直线交轴于，且，为坐标原点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆的上顶点，过点分别作直线交椭圆于两点，设这两条直线的斜率分别为，且，证明：直线过定点．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直线过定点，证明见解析.

【解析】

试题分析：对问题（1），根据题目条件并结合椭圆过点，即可得到的值，进而可求得椭圆的方程；对问题（2），首先讨论直线的斜率是否存在，分两种情况分别证明，当直线的斜率存在时，可联立直线与椭圆的方程并结合韦达定理，即可判断出直线过定点.

试题解析：（1）∵椭圆过点，∴①，

∵，∴，则，

∴，②

由①②得，

∴椭圆的方程为

（2）当直线的斜率不存在时，设，则，由得，得

当直线的斜率存在时，设的方程为，

，

得，

，

即，

由，

即，

故直线过定点．