Question

已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等腰直角三角形，AC⊥AD，且AD=DE=2AB，F为CD中点．
（Ⅰ）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（Ⅱ）求直线BF和平面BCE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以A为原点，

AC

、

AD

、

AB

分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面BCE⊥平面CDE．
（Ⅱ）由F为CD中点，知F（a，a，0），

BF

=(a，a，-a)．由此利用向量法能求出直线BF和平面BCE所成角的正弦值．

解答：（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）以A为原点，

AC

、

AD

、

AB

分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．…（1分）
设AB=a，因为△ACD为等腰直角三角形，AC⊥AD，且AD=DE=2AB，
所以B（0，0，a），C（2a，0，0），D（0，2a，0），E（0，2a，2a），…（2分）
所以

BC

=(2a，0，-a)，

BE

=(0，2a，a)，

CD

=(-2a，2a，0)，

DE

=(0，0，2a)．…分
设平面BCE的法向量为

n1

=（x，y，z），
则由

n1 • BC =0 n1 • BE =0

，得

2ax-az=0 2ay+az=0

，
令z=2，则

n1

=（1，-1，2）．…（5分）
设平面CDE的法向量为

n2

=（x，y，z），
则由

n2 • CD =0 n2 • DE =0

，得

-2ax+2ay=0 2az=0

，
令x=1，则

n2

=（1，1，0）．…（7分）
所以

n1

•

n2

=0，所以平面BCE⊥平面CDE．…（8分）
（Ⅱ）因为F为CD中点，所以F（a，a，0），

BF

=(a，a，-a)．
则cos＜

BF

，

n1

＞=

BF • n1

| BF |•| n1 |

=

-2a

6 × 3 a

=-

2

3

．…（11分）
设直线BF和平面BCE所成角为θ，
则sinθ=|cos＜

BF

，

n1

|=|

a-a-2a

6 × 3 a

|=

2

3

．
所以直线BF和平面BCE所成角的正弦值为

2

3

．…（15分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．