Question

经过M（2，1）作直线L交双曲线于A、B两点，且M为AB的中点，
（1）求直线L的方程；       
（2）求线段AB的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，由，得，所以，由此能求出直线L的方程．
（2）把y=4x-7代入消去y得14x²-56x+51=0，所以，由此能求出求线段AB的长．
解答：解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵M（2，1）为AB的中点，
∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分别代入双曲线，
得，
二者相减，得，
把x₁+x₂=4，y₁+y₂=2代入，得4（x₁-x₂）-（y₁-y₂）=0，
所以
∴直线L的方程为y=4x-7
（2）把y=4x-7代入，
消去y得14x²-56x+51=0，
∴，k=4，
∴|AB|=
==．
从而得．
点评：本题考查直线和双曲线的位置关系的综合运用，考查中点弦方程的求法和弦长公式的应用．解题时要认真审题，注意点差法的灵活运用．