Question

经过M（2，1）作直线L交双曲线x2-

y2

2

=1于A、B两点，且M为AB的中点，
（1）求直线L的方程；       
（2）求线段AB的长．

Answer 1

分析：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，由x12-

y12

2

=1，x22-

y22

2

=1，得(x1+x2)(x1-x2)-

1

2

(y1+y2)(y1-y2)=0，所以kAB=

y1-y2

x1-x2

=4，由此能求出直线L的方程．
（2）把y=4x-7代入x2-

y2

2

=1消去y得14x²-56x+51=0，所以x1+x2=4，x1•x2=

51

14

，由此能求出求线段AB的长．

解答：解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵M（2，1）为AB的中点，
∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分别代入双曲线x2-

y2

2

=1，
得x12-

y12

2

=1，x22-

y22

2

=1，
二者相减，得(x1+x2)(x1-x2)-

1

2

(y1+y2)(y1-y2)=0，
把x₁+x₂=4，y₁+y₂=2代入，得4（x₁-x₂）-（y₁-y₂）=0，
所以kAB=

y1-y2

x1-x2

=4
∴直线L的方程为y=4x-7
（2）把y=4x-7代入x2-

y2

2

=1，
消去y得14x²-56x+51=0，
∴x1+x2=4，x1•x2=

51

14

，k=4，
∴|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

17(16-4× 51 14 )

=

1190

7

．
从而得|AB|=

1190

7

．

点评：本题考查直线和双曲线的位置关系的综合运用，考查中点弦方程的求法和弦长公式的应用．解题时要认真审题，注意点差法的灵活运用．