Question

奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x）．当x∈[0，1]时，f（x）=3^x-1，则f(log

1

3

36)的值

 

．

Answer 1

分析：本题是考查函数的综合性质，即考查函数的奇偶性，又考查函数的周期性，还要求函数值，由-3＞log

1

3

36＞-4，而对应区间上函数的解析式未知，故我们可以将自变量的值利用函数的周期性，将自量的值往已知的区间上转化．

解答：解：∵f（x）奇函数，∴f（-x）=-f（x）
又∵当x∈[0，1]时，f（x）=3^x-1，
当x∈[-1，0]时，-x∈[0，1]
此时-f（x）=f（-x）=3^-x-1
∴f（x）=1-3^-x
又∵-3=log

1

3

27＞log

1

3

36＞log

1

3

81=-4
∴-1＜log

1

3

36+3＜0
又由f（x+3）=f（x）
得f(log

1

3

36)=f(log

1

3

36+3)=1-3-(log

1

3

36+3)=1-

4

3

=-

1

3

故答案为：-

1

3

点评：本题解析的关键点是根据函数的奇偶性，求函数在对称区间上的解析式，若已知函数的奇偶性，及函数在区间[a，b]上的解析式，求对称区间[-b，-a]上的解析式，一般步骤为：取区间上任意一个数，即x∈[-b，-a]，则-x∈[a，b]，由区间[a，b]上的解析式，写出f（-x）的表达式，根据奇函数f（-x）=-f（x）（偶函数f（-x）=f（x））给出区间[-b，-a]上函数的解析式．