Question

（2011•重庆一模）定义域为R的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），且当x∈（0，1）时，f（x）=

2x-1

2x+1

．
（Ⅰ）求f（x） 在[-1，1]上的解析式；
（Ⅱ）当m取何值时，方程f（x）=m在（0，1）上有解？

Answer 1

分析：（Ⅰ）当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），由f（x）为R上的奇函数，得f（-x）=-f（x）=

1-2x

2x+1

，故f(x)=

2x-1

2x+1

，x∈（-1，0）．由奇函数得f（0）=0．由此能求出f（x） 在[-1，1]上的解析式．
（Ⅱ）由x∈（0，1），知m=1-

2

2x+1

，故2^x∈（1，2），1-

2

2x+1

∈(0，

1

3

)．由此能求出当m取何值时，方程f（x）=m在（0，1）上有解．

解答：解：（Ⅰ）当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），
由f（x）为R上的奇函数，得f（-x）=-f（x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

2x+1

，
∴f(x)=

2x-1

2x+1

，x∈（-1，0）．…（3分）
又由奇函数得f（0）=0．
∵f（-1）=-f（1），f（-1）=f（1），
∴f（-1）=0，f（1）=0．　…（5分）
∴f(x)=

2x-1 2x+1 ，x∈(-1，1) 0，x=±1

．   …（7分）
（Ⅱ）∵x∈（0，1），
m=

2x-1

2x+1

=

2x+1-2

2x+1

=1-

2

2x+1

，…（10分）
∴2^x∈（1，2），
∴1-

2

2x+1

∈(0，

1

3

)．
即m∈(0，

1

3

)． …（13分）

点评：本题考查求f（x） 在[-1，1]上的解析式和当m取何值时，方程f（x）=m在（0，1）上有解．解题时要认真审题，注意函数的奇偶性的灵活运用．