Question

已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量

m

=（sinA，1），

n

=（1，-

3

cosA），且

m

⊥

n

．
（1）求角A；
（2）若b+c=

3

a，求sin（B+

π

6

）的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量垂直得到数量积为0，可得方程，由此可求角A；
（2）（解法1）利用正弦定理，将边的关系转化为角，利用辅助角公式，可得结论；
（解法2）利用余弦定理，求出边，再求出B，从而可得结论．

解答：解：（1）因为

m

⊥

n

，所以

m

•

n

=0，
∵向量

m

=（sinA，1），

n

=（1，-

3

cosA），
∴sinA-

3

cosA=0．…（2分）
∴sinA=

3

cosA，∴tanA=

3

．…（4分）
又因为0＜A＜π，∴A=

π

3

．…（6分）
（2）（解法1）因为b+c=

3

a，由正弦定理得sinB+sinC=

3

sinA=

3

2

．…（8分）
因为B+C=

2π

3

，所以sinB+sin（

2π

3

-B）=

3

2

．…（10分）
化简得

3

2

sinB+

3

2

cosB=

3

2

，…（12分）
从而

3

2

sinB+

1

2

cosB=

3

2

，即sin（B+

π

6

）=

3

2

．…（14分）
（解法2）由余弦定理可得b²+c²-a²=2bccosA，即b²+c²-a²=bc  ①．…（8分）
又因为b+c=

3

a  ②，
联立①②，消去a得2b²-5bc+2c²=0，即b=2c或c=2b．…（10分）
若b=2c，则a=

3

c，可得B=

π

2

；若c=2b，则a=

3

b，可得B=

π

6

．…（12分）
所以sin（B+

π

6

）=

3

2

．…（14分）

点评：本题考查向量知识的运用，考查余弦定理、正弦定理的运用，解题的关键是边角互化．