Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）当时，求在点处的切线方程；

（Ⅱ）若，求函数的单调区间；

（Ⅲ）若对任意的，在上恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）利用函数和导函数的解析式求得切点和切线斜率，从而得到切线方程；（Ⅱ）通过导数可知单调性由的符号决定；分别在、两种情况下判断导函数的正负，从而得到原函数的单调区间；（Ⅲ）通过变量迁移可将问题变为在上恒成立的问题；由与的符号易判断；构造函数，根据导函数正负可知时满足题意；而当时，由于存在使得，从而可知时，不等式不成立；由此总结可得结果.

（Ⅰ）当时，

，

函数在点处的切线方程为

（Ⅱ）由题意，

（ⅰ）当时，

令，得；，得

所以在单调递增，单调递减

（ⅱ）当时，

令，得；，得或

所以在单调递增，在，单调递减

（Ⅲ）令，

当时，，单调递增，则

则对恒成立等价于

即，对恒成立.

（ⅰ）当时，，，

此时，不合题意，舍去

（ⅱ）当时，令，

则

其中对，

令，则在区间上单调递增

①当时，

所以对，，则在上单调递增

故对任意，

即不等式在上恒成立，满足题意

②当时，由

又且在区间上单调递增

所以存在唯一的使得，且时，

即，所以在区间上单调递减

则时，，即，不符合题意

综上所述，