题目内容
18．为了解心肺疾病是否与年龄相关，现随机抽取了40名市民，得到数据如下表：| 患心肺疾病 | 不患心肺疾病 | 合计 | |
| 大于40岁 | 16 | ||
| 小于等于40岁 | 12 | ||
| 合计 | 40 |
（1）请将2×2列联表补充完整；据此数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关？
（2）（2）已知大于40岁患心肺疾病市民中，经检查其中有4名重症患者，专家建议重症患者住院治疗，现从这16名患者中选出两名，记需住院治疗的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望
下面的临界值表供参考：
| P（K2≥k） | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
分析 （1）根据题意填写列联表，计算观测值K2，对照临界值得出结论；
（2）计算随机变量ξ对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．
解答 解：（1）根据题意填写列联表如下；
| 患心肺疾病 | 不患心肺疾病 | 合计 | |
| 大于40岁 | 16 | 4 | 20 |
| 小于等于40岁 | 8 | 12 | 20 |
| 合计 | 24 | 16 | 40 |
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关； （6分）
（2）随机变量ξ可以取0，1，2，
且P（ξ=0）=$\frac{{C}_{12}^{2}}{{C}_{16}^{2}}$=$\frac{66}{120}$=$\frac{11}{20}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{•C}_{12}^{1}}{{C}_{16}^{2}}$=$\frac{48}{120}$=$\frac{2}{5}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{16}^{2}}$=$\frac{6}{120}$=$\frac{1}{20}$，
故ξ的分布列为
| ξ | 0 | 1 | 2 |
| P | $\frac{11}{20}$ | $\frac{2}{5}$ | $\frac{1}{20}$ |
点评 本题考查了随机变量的分布列与数学期望的应用问题，也考查了列联表与独立性检验的问题，是中档题．
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8．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x单位：小时）与当天投篮命中率y之间的关系：
（1）用线性回归分析的方法求回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$．（2）预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率．
$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{∧}{b}=\frac{\sum_{i-1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i-1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}}\\{\stackrel{∧}{a}=\overline{y}-\stackrel{∧}{b}\overline{x}}\end{array}\right.$．
| 时间x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 命中率y | 0.4 | 0.5 | 0.6 | 0.6 | 0.4 |
$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{∧}{b}=\frac{\sum_{i-1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i-1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}}\\{\stackrel{∧}{a}=\overline{y}-\stackrel{∧}{b}\overline{x}}\end{array}\right.$．
6．2016年春晚过后，为了研究演员上春晚次数与受关注度的关系，某站对其中一位经常上春晚的演员上春晚次数与受关注度进行了统计，得到如下数据：
（Ⅰ）若该演员的粉丝数量y与上春晚次数x满足线性回归方程，试求回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$，并就此分析：该演员上春晚11次时的粉丝数量；
（Ⅱ）若用$\frac{y_i}{x_i}$（i=1，2，3，4，5）表示统计数据时粉丝的“即时均值”（精确到整数）：
（1）求这5次统计数据时粉丝的“即时均值”的方差；
（2）从“即时均值”中任选2组，求这两组数据之和不超过15的概率．
参考公式：$\begin{array}{l}用最小二乘法求线性回归方程系数公式：\\ \widehatb=\frac{{\sum_{i-1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x•\overline y}}}{{\sum_{i-1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}=\frac{{\sum_{i-1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{\sum_{i-1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}，\widehata=\overline y-b\overline x\end{array}$．
| 上春晚次数x（单位：次） | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| 粉丝数量y（单位：万人） | 10 | 20 | 40 | 80 | 100 |
（Ⅱ）若用$\frac{y_i}{x_i}$（i=1，2，3，4，5）表示统计数据时粉丝的“即时均值”（精确到整数）：
（1）求这5次统计数据时粉丝的“即时均值”的方差；
（2）从“即时均值”中任选2组，求这两组数据之和不超过15的概率．
参考公式：$\begin{array}{l}用最小二乘法求线性回归方程系数公式：\\ \widehatb=\frac{{\sum_{i-1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x•\overline y}}}{{\sum_{i-1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}=\frac{{\sum_{i-1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{\sum_{i-1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}，\widehata=\overline y-b\overline x\end{array}$．
7．电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，如图是根据调查结果得到的2×2列联表．
（Ⅰ）补全2×2列联表，并据此资料判断你是否有95%以上的把握认为“体育迷”与性别有关？
（Ⅱ）将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知有5名“超级体育迷”，其中3名男性2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．
由K2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d为样本容量
（Ⅰ）补全2×2列联表，并据此资料判断你是否有95%以上的把握认为“体育迷”与性别有关？
（Ⅱ）将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知有5名“超级体育迷”，其中3名男性2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．
| 非体育迷 | 体育迷 | 合计 | |
| 男 | 30 | 15 | |
| 女 | 45 | 10 | 55 |
| 合计 | 100 |
| P（K2≥k） | 0.05 | 0.01 |
| k | 3.841 | 6.0635 |