Question

已知某几何体的三视图如下图所示，其中左视图是边长为2的正三角形，主视图是矩形且，俯视图中分别是所在边的中点，设为的中点.

（1）求其体积； （2）求证：;

(3)边上是否存在点，使？ 若不存在，说明理由；若存在，请证明你的结论.

Answer 1

（1）（2）见解析（3）当与重合即为边的中点时，使

解析:

（1）该几何体的直观图为平放正三棱柱且体积为...........4分

（2）取的中点分别为，连接，由正三棱柱的性质得，又，为的中点,   ∴

∴四边形为平行四边形    ∴

由正三角形的边的中点       ∴

又由正三棱柱的性质得, ∴ 且  ∴    ∴

又 ∴……………………10分

（3）由（2）知，且∴

故当与重合即为边的中点时，使………….16分