Question

已知函数，．

（1）若，判断函数是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由；

（2）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范围；

（3）求函数的单调区间．

 

Answer 1

（1）函数不存在极值；（2）；（3）当时，的单调减区间为（0，+）；

当时，的单调增区间为与；

单调减区间为；

当时，的单调增区间为（0，+）.

【解析】

试题分析：

（1）利用求极值的方法，先求导，再判断函数f（x）单调性，然后判断是否存在极值；

（2）本命题等价于f（x）-g（x）＞0在[1，e]上有解，设F（x）=f（x）-g（x），

F（x）min=F（1）=0，从而求得a的取值范围．

（3）求含有参数的f（x）的单调区间，需要分类讨论；

试题解析：（1）当时，，其定义域为（0，+?）.

因为， 1分

所以在（0，+）上单调递增， 2分

所以函数不存在极值. 3分

（2）由存在一个，使得成立，

等价于，即成立 4分

令，等价于“当时，”. 5分

因为，且当时，，

所以在上单调递增， 7分

故，因此. 8分

（3）函数的定义域为．

9分

当时，

因为在（0，+?）上恒成立，所以在（0，+）上单调递减. 10分

当时，

当时，方程与方程有相同的实根.

①当时，?>0，可得，，且 11分

因为时，，所以在上单调递增；

因为时，，所以在上单调递减；

因为时，，所以在上单调递增； 12分

②当时，，所以在（0，+）上恒成立，故在（0，+）上单调递增.

13分

综上所述，当时，的单调减区间为（0，+）；

当时，的单调增区间为与；

单调减区间为；

当时，的单调增区间为（0，+）. 14分

考点：1．利用导数研究函数的单调性；２．利用导数研究函数的极值．