Question

11．在多面体ABCDE中，AE⊥平面ABC，AE∥BD，AB=BC=CA=BD=2AE=2
（1）求证：平面EDC⊥平面BDC；
（2）试判断直线AC与平面EDC所成角和二面角E-CD-A的大小的关系．

Answer 1

分析 （1）通过平面与平面垂直的性质定理，证明EP⊥平面BCD．
（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可分别求出线面所成的角以及二面角的大小．

解答 解：（1）证明：取CD、CB的中点P、N，连接EP，PN，NA，
则PN∥BD，且PN=$\frac{1}{2}$BD，
∴EP∥AN，
∵AB=BC=CA，AN⊥BC，AE⊥平面ABC，AE∥BD，
∴平面ABC⊥平面BDC，
∴AN⊥平面BDC，∴EP⊥平面BDC，由EP?平面EDC，
∴平面EDC⊥平面BDC．
（2）∵AB=BC=CA=BD=2AE=2
∴△ABC是正三角形，则CF⊥AB，
∵AE⊥平面ABC，
∴平面ABDE⊥平面ABC，
则CF⊥平面ABDE，
建立以F为坐标原点，FC，FB，Fz分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
则F（0，0，0），A（0，-1，0），B（0，1，0），C（$\sqrt{3}$，0，0），
E（0，-1，1），D（0，1，2），
则$\overrightarrow{DE}$=（0，-2，-1），$\overrightarrow{CD}$=（-$\sqrt{3}$，1，2），
设平面EDC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{DE}$=-2y-z=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{CD}$=-$\sqrt{3}$x+y+2z=0，
令x=$\sqrt{3}$，则y=-1，z=2，即$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，-1，2），
$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{3}$，1，0），
设AC与平面EDC所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{AC}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{m}|AC||}$|=$\frac{\sqrt{3}×\sqrt{3}-1×1}{\sqrt{3+1}•\sqrt{3+1+4}}$=$\frac{3-1}{2×2\sqrt{2}}$=$\frac{2}{4\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
则θ=arcsin$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
设平面ACD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{AC}$=$\sqrt{3}$x+y=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{CD}$=-$\sqrt{3}$x+y+2z=0，
令x=$\sqrt{3}$，则y=-3，z=3，即$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，-3，3），
则cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{\left|\overrightarrow{m}\right|\left|\overrightarrow{n}\right|}$=$\frac{\sqrt{3}×\sqrt{3}+1×3+2×3}{\sqrt{3+1+4}•\sqrt{3+9+9}}$=$\frac{12}{2\sqrt{2}•\sqrt{21}}$=$\frac{\sqrt{42}}{7}$
即$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=arccos$\frac{\sqrt{42}}{7}$，即二面角E-CD-A的大小为arccos$\frac{\sqrt{42}}{7}$．

点评 本题主要考查空间面面垂直的判定以及线面角，二面角的求解，根据建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求二面角是解决本题的关键．