Question

6．己知函数f（x）=alnx+$\frac{{x}^{2}}{2}$-（a+1）x．
（I）当a=-1时，求函数f（x）的单调区间和极值点；
（Ⅱ）若a∈R，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （I）当a=-1时，求得f（x）的解析式，求导，令f′（x）＜0，求得函数的单调递减区间，令f′（x）＞0，求得函数的递增区间，令f′（x）=0，求得x=1，由极值的定义，即可求得x=1为函数的极小值点；
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{（x-1）（x-a）}{x}$，（x＞0），根据二次函数的性质，分类讨论分别求得函数f（x）的单调区间．

解答 解：（I）当a=-1时，f（x）=-lnx+$\frac{{x}^{2}}{2}$，x＞0，
f′（x）=-$\frac{1}{x}$+x，
令f′（x）=0，即-$\frac{1}{x}$+x=0，解得：x=1，
当f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
函数f（x）的单调递减区间（0，1），
当f′（x）＞0，解得：x＞1，
函数f（x）的单调递增区间（1，+∞），
综上可知：函数f（x）的单调递增区间（1，+∞），单调递减区间为（1，+∞），
x=1是函数的极小值点；
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{（x-1）（x-a）}{x}$，（x＞0），
令f′（x）=0，解得x₁=1，x₂=a，
当a≤0时，x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
当0＜a＜1时，x∈（0，a）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
x∈（a，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
当a=1时，f′（x）=$\frac{（x-1）^{2}}{x}$≥0在（0，+∞）上恒成立，f（x）在（0，+∞）为增函数；
当a＞1时，x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
x∈（1，a）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
综上可知：当a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；
当0＜a＜1时，函数f（x）的单调递增区间为（0，a），（1，+∞），单调递减区间为（a，1）；
当a=1时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
当a＞1时，函数f（x）的单调递增区间为（0，1），（a，+∞），单调递减区间为（1，a）．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性及极值，考查导数的综合运用，考查分类讨论思想，属于中档题．