Question

8．求f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}$（a-1）x²-x+1的单调区间．

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，通过讨论a的范围，从而求出f（x）的单调区间．

解答 解：f′（x）=ax²+（a-1）x-1=（ax-1）（x+1），
a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{a}$或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（-∞，-1）递增，在（-1，$\frac{1}{a}$）递减，在（$\frac{1}{a}$，+∞）递增；
a=0时，f（x）=-$\frac{1}{2}$x²-x+1，对称轴x=-1，f（x）在（-∞，-1）递增，在（-1，+∞）递减；
-1＜a＜0时，$\frac{1}{a}$＜-1，
令f′（x）＞0，解得：$\frac{1}{a}$＜x＜-1，令f′（x）＜0，解得：x＞-1或x＜$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（-∞，$\frac{1}{a}$）递减，在（$\frac{1}{a}$，-1）递增，在（-1，+∞）递减；
a=-1时，f′（x）≤0，f（x）在R单调递减；
a＜-1时，-1＜$\frac{1}{a}$＜0，
令f′（x）＞0，解得：-1＜x＜$\frac{1}{a}$，令f′（x）＜0，解得：x＜-1或x＞$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（-∞，-1）递减，在（-1，$\frac{1}{a}$）递增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）递减．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道中档题．