Question

已知函数f(x)=

sin2x (sinx+cosx)

cosx

．
（Ⅰ）求f（x）的定义域及最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-

π

6

，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函数的解析式可得 cosx≠0，所以x≠kπ+

π

2

，k∈Z．由此求得函数f（x）的定义域．再利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为

2

sin(2x-

π

4

)+1，由此可得函数的周期T=

2π

2

．
（Ⅱ）根据-

π

6

≤x≤

π

4

，利用正弦函数的定义域和值域求得最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）由函数的解析式可得 cosx≠0，所以x≠kπ+

π

2

，k∈Z．
所以函数f（x）的定义域为{x |x≠kπ+

π

2

， k∈Z}．…（2分）
再由 f(x)=

sin2x(sinx+cosx)

cosx

=2sinx（sinx+cosx）=2sin²x+sin2x=

2

sin(2x-

π

4

)+1，…（5分）
可得函数的周期T=

2π

2

=π．…（7分）
（Ⅱ）因为-

π

6

≤x≤

π

4

，所以-

7π

12

≤2x-

π

4

≤

π

4

．…（9分）
故当2x-

π

4

=

π

4

时，即x=

π

4

时，函数f（x）取得最大值为

2

×

2

2

+1=2；      …（11分）
当2x-

π

4

=-

π

2

时，即x=-

π

8

时，函数f（x）取得最小值为

2

×（-1）+1=-

2

+1．…（13分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．