题目内容

设向量
a
=（cosωx，2cosωx），
b
=（2cosωx，sinωx）（x∈R，ω＞0），已知函数f（x）=
a
•
b
+1的最小正周期是
π
2
．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的最大值，并求出f（x）取得最大值的x的集合．
分析：（1）由已知中
a
=（cosωx，2cosωx），
b
=（2cosωx，sinωx），结合函数f（x）=
a
•
b
+1和平面向量数量积公式，我们易求出函数的解析式，进而根据函数f（x）的最小正周期是
π
2
，进而求出ω的值；
（2）根据（1）中的函数的解析式，结合正弦型函数的性质，我们易得到（x）的最大值，及f（x）取得最大值的x的集合．
解答：解：（1）∵
a
=（cosωx，2cosωx），
b
=（2cosωx，sinωx）
∴函数f（x）=
a
•
b
+1=2cos2ωx+2sinωx•cosωx+1
=cos2ωx+1+sin2ωx+1
=
2
sin（2ωx+
π
4
）+2
∵函数f（x）的最小正周期是
π
2

即
π
ω
=
π
2

∴ω=2
（2）由（1）可得f（x）=
2
sin（4x+
π
4
）+2
故当4x+
π
4
=
π
2
+2kπ，k∈Z时，函数取最大值2+
2

此时x∈{x|x=
π
16
+
k
2
π，k∈Z}
点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积公式，正弦型函数的单调性与ω的关系，正弦型的最值，其中根据平面向量的数量积公式，求出函数的解析式，是解答本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
设向量
a
=（cos（α+β），sin（α-β）），
b
=（cos（α-β），sin（α+β）），且
a
+
b
=(
4
5
，
3
5
)
（1）求tanα；
（2）求
2cos2
α
2
-3sinα-1
2
sin(α+
π
4
)
的值．
设向量
a
=（cosα，
1
2
）的模为
2
2
，则cos2α-sin2α=（　　）
设向量
a
=（cosθ，2），
b
=（
1
4
，1）且
a
∥
b
，则cos2θ等于（　　）
（2013•丽水一模）设向量
a
=（cosωx-sinωx，-1），
b
=（2sinωx，-1），其中ω＞0，x∈R，已知函数f（x）=
a
•
b
的最小正周期为4π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若sinx0是关于t的方程2t2-t-1=0的根，且x0∈(-
π
2
，
π
2
)，求f（x0）的值．

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