Question

【题目】已知函数.

（1）求在上的最大值和最小值；

（2）设曲线与轴正半轴的交点为处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有.

Answer 1

【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增.（2）见解析

【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，解关于导数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）设出点的坐标，表示出切线方程，令，根据函数的单调性证明即可.

试题解析：（1)由，可得.

令，解得，或.

当变化时， 的变化情况如表：

所以， 在上单调递减，在上单调递增.

(2)设点的坐标为，则,.

曲线在点处的切线方程为，即.

令，则，所以,

由于在上单调递减，故在上单调递减.

又因为，,所以当时， .

当时， ,所以在内单调递增，在上单调递减，所以对于任意的正实数，都有.

故对于任意的正实数，都有.