Question

【题目】已知函数．

（1）是否存在实数、，使得函数的定义域和值域都是？若存在，请求出，的值；若不存在，请说明理由．

（2）若存在实数，，使得函数的定义域是，值域是，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）不存在实数、满足条件,（2）.

【解析】

（1）不存在实数、满足条件．

事实上，若存在实数、，使得函数的定义域和值域都是，则有．

故．

（i）当、时，在上 减函数，所以，，即．

由此推得与已知矛盾．

故此时不存在实数、满足条件．

（ii）当、时，在上为增函数，所以，，即．

于是，、是方程的实根．

而此方程无实根．

故此时不存在实数、满足条件．

（iii）当，时，显然，，而，所以，，矛盾．

故此时不存在实数、满足条件．

综上可知，不存在实数、满足条件．

（2）若存在实数、，使得函数的定义域是，值域是，易得，．

仿照（1）的解答可知，当、或，时，满足条件的、不存在．

只有当、时，在上为增函数，有，即．

于是，、是方程的两个大于1的实数根．

所以，，只须．解得．

因此，的取值范围是．