题目内容

20．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是A1B1，CC1的中点，过D1，E，F作平面D1EGF交BB1于G．给出以下五个结论：
①EG∥D1F；
②BG=3GB1；
③平面D1EGF⊥平面CDD1C1；
④直线D1E与FG的交点在直线B1C1上；
⑤几何体ABGEA1-DCFD1的体积为$\frac{41}{6}$．其中正确的结论有①②④⑤（填上所有正确结论的序号）

分析 ①利用面面平行的性质定理即可判断出正误；
②如图所示，取BB1的中点M，连接A1M，FM．则四边形A1D1FM是平行四边形，再利用三角形的中位线定理可得G是B1M的中点，即可判断出正误；
③由A1D1⊥平面CDD1C1，可得平面A1D1FM⊥平面CDD1C1，即可判断出正误；
④直线D1E与FG的交点既在平面A1B1C1D1上，又在平面BCC1B1上，因此在平面A1B1C1D1与平面BCC1B1的交线上，即可判断出正误；
⑤先计算三棱台B1EG-C1D1F的体积V1．利用几何体ABGEA1-DCFD1的体积为=${V}_{正方体A{C}_{1}}$-V1，即可判断出正误

解答 解：对于①，∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，平面D1EGF∩平面ABB1A1=EG，平面D1EGF∩平面DCC1D1=D1F，∴EG∥D1F；
对于②，如图所示，取BB1的中点M，连接A1M，FM．则四边形A1D1FM是平行四边形，∴A1M∥D1F，∴A1M∥EG，又点E是A1B1的中点，
∴G是B1M的中点，∴BG=3GB1；
对于③，∵A1D1⊥平面CDD1C1，∴平面A1D1FM⊥平面CDD1C1，可得平面D1EGF与平面CDD1C1不可能垂直，因此不正确；
对于④，直线D1E与FG的交点既在平面A1B1C1D1上，又在平面BCC1B1上，因此在平面A1B1C1D1与平面BCC1B1的交线B1C1上，正确；
对于⑤，∵${S}_{△F{C}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{1}{2}×2×1$=1，${S}_{△{B}_{1}EG}$=$\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，高B1C1=2，∴三棱台B1EG-C1D1F的体积V1=$\frac{1}{3}×2×（1+\sqrt{1×\frac{1}{4}}+\frac{1}{4}）$=$\frac{7}{6}$．
∴几何体ABGEA1-DCFD1的体积为=${V}_{正方体A{C}_{1}}$-V1=23-$\frac{7}{6}$=$\frac{41}{6}$，因此正确．
故答案为：①②④⑤．

点评 本题考查了空间线面面面位置关系及其判定方法、三棱台的体积计算公式，考查了空间想象能力、推理能力，属于中档题．

练习册系列答案
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