Question

称满足以下两个条件的有穷数列a₁，a₂，…a_n为n（n=2，3，4，…）阶“期待数列”：①a₁+a₂+a₃+…+a_n=0； ②|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=1．
（1）若数列{a_n}的通项公式是a_n=

1

2014

•sin

(2n-1)π

2

（n=1，2，…2014），试判断数列{a_n}是否为2014阶“期待数列”，并说明理由；
（2）若等比数列{b_n}为2k（k∈N^*）阶“期待数列”，求公比q及数列{b_n}的通项公式；
（3）若一个等差数列{c_n}既是2k（k∈N^*）阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式．

Answer 1

分析：（1）写出数列的通项，根据“期待数列”的定义，即可判断；
（2）分类讨论，求出公比与首项，即可求出数列{b_n}的通项公式；
（3）根据一个等差数列{c_n}既是2k（k∈N^*）阶“期待数列”又是递增数列，求出数列的首项与公差，即可求该数列的通项公式．

解答：解：（1）∵a_n=

1

2014

•sin

(2n-1)π

2

=

- 1 2014 ，n为偶数 1 2014 ，n为奇数

，----------------------------（2分）
∴a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₄=（a₁+a₃+…+a₂₀₁₃）+（a₂+a₄+…+a₂₀₁₄）=

1

2014

×1007-

1

2014

×1007=0，
②|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a₂₀₁₄|=

1

2014

×2014=1，
∴数列{a_n}为2014阶“期待数列”---------------------------------（4分）
（2）①若q=1，由①得，b₁•2k=0，得b₁=0，矛盾．-----------（5分）
若q≠1，则由①b₁+b₂+b₃+…+b_2k=

a1(1-q2k)

1-q

=0，得q=-1，-------------（7分）
由②得b₁=

1

2k

或b₁=-

1

2k

．
∴q=-1，数列{b_n}的通项公式是b_n=

1

2k

•(-1)n-1（n=1，2，…，2k）或b_n=-

1

2k

•(-1)n-1（n=1，2，…，2k）（9分）
（3）设等差数列等差数列{c_n}的公差为d，d＞0．
∵c₁+c₂+c₃+…+c_2k=0，∴

2k•(c1+c2k)

2

=0，∴c₁+c_2k=c_k+c_k+1=0，
∵d＞0，由c_k+c_k+1=0得c_k＜，c_k+1＞0，--------------------------（11分）
由①、②得c₁+c₂+c₃+…+c_k=-

1

2

，c_k+1+c_k+2+c_k+3+…+c_2k=

1

2

，-----------（13分）
两式相减得，k²d=1，∴d=

1

k2

，
又c1k+

k(k-1)

2

d=-

1

2

，得c₁=-

2k-1

2k2

，
∴数列{c_n}的通项公式是c_n=c1+(n-1)d=

-2k-1+2n

2n2

．-（16分）

点评：本题考查新定义，考查数列的求和与通项，考查学生的计算能力，正确理解新定义是关键．