Question

若函数f（x）同时满足以下两个条件：①f（x）在其定义域上是单调函数；②在f（x）的定义域内存在区间[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的值域是[a，b]．则称函数f（x）为“自强”函数．
（1）判断函数f（x）=2^x-1是否为“自强”函数？若是，则求出a，b若不是，说明理由；
（2）若函数f（x）=

2x-1

+t是“自强”函数，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据 ①函数f（x）=2^x-1在R上为增函数； ②假设存在区间[a，b]，满足

f(a)=2a-1=a f(b)=2b-1=b

，则 a、b 是方程 2^x=x+1 的两个不同的实根，求得a和b的值，可得结论．
（2）根据 ①函数f（x）=

2x-1

+t 在[

1

2

，+∞）上为增函数，②设区间[a，b]，满足

f(a)=  2a-1 +t=a f(b)= 2b-1 +t=b

，则 a、b 是方程

2x-1

+t=x 的两个不同的根，令m=

2x-1

≥0，可得m²-2m+1-2t=0 有两个不同的非负实根，再利用一元二次方程根与系数的关系求得t的范围．

解答：解（1）∵①函数f（x）=2^x-1在R上为增函数； ②假设存在区间[a，b]，满足

f(a)=2a-1=a f(b)=2b-1=b

，
∴a、b 是方程 2^x=x+1 的两个不同的实根，a=0，b=1，
函数f（x）=2^x-1是“自强”函数，且 a=0，b=1．
（2）∵①函数f（x）=

2x-1

+t 在[

1

2

，+∞）上为增函数，
②设区间[a，b]，满足

f(a)=  2a-1 +t=a f(b)= 2b-1 +t=b

，
∴a、b 是方程

2x-1

+t=x 的两个不同的根，且b＞a≥

1

2

．
令m=

2x-1

≥0，∴m+t=

1

2

（m²+1），
∴m²-2m+1-2t=0 有两个不同的非负实根，
∴

△ = 4-4(1-2t)＞0 m1+m2 = 2≥0 m1•m2=1-2t≥0

，解得 0＜t≤

1

2

．

点评：本题主要考查函数的定义域和值域，一元二次方程根与系数的关系，属于中档题．