Question

【题目】如图，在三棱台中，，，，，，平面平面．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）证法一：在上取点，使，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得平面；

证法二：在平面内过点作，连接，证明出平面平面，再利用面面平行的性质定理可得出平面；

（Ⅱ）连接，推导出平面，可得出，进一步推导出平面，可得出，然后取的中点，连接，推导出，过点作交于点，连接，推导出平面，可得出为直线与平面所成的角，然后通过解三角形可解出的值.

（Ⅰ）证法一：在上取点，使，连接、，

，，且，

由棱台的性质可知，

且，且，四边形是平行四边形，，

又平面，平面，平面；

证法二：在平面内过点作，连接，

，又，且，

四边形是平行四边形，．

平面，平面，平面，

又，平面，平面，平面，

，平面平面，

平面，平面；

（Ⅱ）连接，在直角梯形中，，，

，，

又，，，

又平面平面，平面平面，平面，

平面，

平面，，

在中，，，，

由余弦定理得，，，

又，平面，

平面，，

取的中点，连接，

且，四边形为平行四边形，则，

，，，

，．

过点作交于点，连接，

平面，平面，，

，且，平面，

为与平面所成的角．

在中，，，

由余弦定理得，则，

，，

因此，与平面所成角的正弦值为．