Question

【题目】四棱锥的底面为菱形，，，为的中点，为上一点，且，若，.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】

（1）通过证明直线与平面内的一条直线平行证明直线与平面平行；（2）通过证明直线与平面内的两条相交直线垂直证明直线与平面垂直；（3）利用等体积法求解三棱锥的高，进而求解线面角的正弦值或通过建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角公式求解.

解：（1）证明：连接，交于点，连接，则，

∴，又平面，平面，

从而平面.

（2）证明：连接，

∵，是中点，

∴，

又，，

∴，

又是中点，∴，

且易求，，

∴，从而，

又，

∴平面.

（3）解法一：设到平面的距离为，与平面所成角为，则

∵，

∴，

计算可得，，

∴，又∵，

∴，从而.

解法二：作平面，以为坐标原点，，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，设，由，，

得解得

∴.

设平面的法向量为，，，

则，

令，得，

∴，

记直线与平面所成角为，

则.