Question

已知cosα是方程5x²-7x-6=0的根，则

sin(-α- 3π 2 )sin( 3π 2 -α) tan2α

cos( π 2 -α)cos( π 2 +α)cot2(π-α)

=

9

25

．

Answer 1

分析：将方程5x²-7x-6=0左边分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到x的值，进而确定出cosα的值，然后将所求式子的分子第一项提取-1，利用正弦函数为奇函数化简后再利用诱导公式sin（

3π

2

+α）=-cosα化简，第二项利用诱导公式sin（

3π

2

-α）=cosα化简，分母第一项利用诱导公式cos（

π

2

-α）=-sinα化简，第二项利用诱导公式cos（

π

2

+α）=-sinα化简，第三项利用同角三角函数间的倒数关系变形，整理后再利用同角三角函数间的基本关系化简，约分后得到最简结果，最后将cosα的值代入化简后的式子中计算即可得到所求式子的值．

解答：解：∵5x²-7x-6=0变形为：（5x+3）（x-2）=0，
∴x₁=-

3

5

，x₂=2，
又cosα为方程5x²-7x-6=0的根，
∴cosα=-

3

5

或cosα=2（舍去），
则

sin(-α- 3π 2 )sin( 3π 2 -α) tan2α

cos( π 2 -α)cos( π 2 +α)cot2(π-α)

=

-sin(α+ 3π 2 )sin( 3π 2 -α)tan2α

cos( π 2 -α)cos( π 2 +α) 1 cos2(π-α)

=

-cos2αtan2αcos2α

-sin2α

=cos²α=（-

3

5

）²=

9

25

．
故答案为：

9

25

点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．