Question

已知sinα，cosα是方程25x²-5（2t+1）x+t²+t=0的两根且α为锐角，求t的值．

Answer 1

分析：由已知sinα，cosα是方程25x²-5（2t+1）x+t²+t=0的两根，结合韦达定理（一元二次方程根与系数的关系），易得到一个两根之和及两根之积的表达式，结合α为锐角，易求出t的取值范围，再利用同角三角函数关系，可以构造一个关于t的方程，解方程即可求出t的值．

解答：解：由韦达定理得sinα+cosα=

2t+1

5

，cosα•sinα=

t2+t

25

（4分）
∵α为锐角
∴sinα＞0，cosα＞0，
则2t+1＞0且t²+t＞0
得t＞0（8分）
则

(2t+1)2

25

-2•

t2+t

25

=1
解之得：t=3或t=-4（舍去），
∴t=3（12分）

点评：本题考查的知识点是一元二次方程根的分布与系数的关系，及同角三角函数关系，其中利用韦达定理（一元二次方程根与系数的关系），得到sinα+cosα=

2t+1

5

，cosα•sinα=

t2+t

25

是解答本题的关键．