题目内容
【题目】设正项数列
的前
项和为
，且满足
， 
， 
，各项均为正数的等比数列
满足
.
(Ⅰ)求数列
和
的通项公式；
(Ⅱ)若
，数列
的前
项和为
.若对任意
， 
，均有
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ) 
， 
；(Ⅱ) 
.
【解析】试题分析：（1）
，可得
时， 
，两式相减得
，根据数列
的各项均为正数，可得
，根据
，解得
．利用等差数列的通项公式即可得出．进而利用等比数列的通项公式可得
．
（2）由（1）可知
．利用错位相减法可得
．可知若对任意
均有
恒成立，等价于
恒成立，即
恒成立，利用数列单调性即可得出．
试题解析：
(Ⅰ) 
， 
，
∴
，
∴
且各项为正，∴
又
，所以
，再由
得
，所以
∴
是首项为1，公差为3的等差数列，∴
∴
.
(Ⅱ) 
∴
恒成立
∴
，即
恒成立.
设
， 
当
时， 
； 
时， 
∴
，∴
.
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