Question

【题目】如图，在四棱柱为长方体，点是上的一点.

（1）若为的中点，当为何值时，平面平面；

（2）若， ，当时，直线与平面所成角的正弦值是否存在最大值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）时， 取得最大值1.

【解析】试题分析：（1）要使平面平面，只需平面.，只需，只需，因为为的中点，所以，所以；（2）建立空间直角坐标系，写出直线与平面所成角的正弦，利用二次函数求其最大值即可.

试题解析：（1）要使平面平面，只需平面.

因为四棱柱为长方体，

所以平面，所以.

又因为，所以只需，

只需，只需∽，

因为，所以只需，

因为为的中点，所以，所以.

所以当时，平面平面.

（2）存在.理由如下：建立如图所示的空间直角坐标系，

则，所以，

由得，则，

设平面的法向量为，则，

所以，取，则，

所以，

设直线与平面所成的角为，

则

令，则， ，

所以

所以当，即，时， 取得最大值1.