Question

不等式

2x2+2kx+k

4x2+6x+3

＜1的解为一切实数，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：不等式

2x2+2kx+k

4x2+6x+3

＜1的解为一切实数，说明不等式恒成立，我们分析其分母后，发现分母部分大于零恒成立，则我们可以利用不等式的性质将其转化为一个一元二次不等式恒成立的原因，再根据一元二次不等式恒成立的解题方法进行处理．

解答：解：∵分母4x²+6x+3=0时的△=36-4×4×3=-12＜0
故分母4x²+6x+3＞0恒成立，
则原不等式

2x2+2kx+k

4x2+6x+3

＜1可化为：
2x²+2kx+k＜4x²+6x+3
即2x²+（6-2k）x+（3-k）＞0恒成立；
则对应方程的△=（6-2k）²-8（3-k）＜0
即k²-4k+3＜0
解得：1＜k＜3
故满足条件的实数k的取值范围为（1，3）

点评：不等式ax²+bx+c＞0（a≠0）恒成立?

a＞0 △＜0

不等式ax²+bx+c＜0（a≠0）恒成立?

a＜0 △＜0