题目内容

已知f（x）在（-1，1）上有定义，f（）=-1，且满足x，y∈（-1，1）有f（x）+f（y）=f（）
（1）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数；?
（2）对数列x1=，xn+1=，求f（xn）；?
（3）求证
【答案】分析：（1）利用题中条件找出f（-x）=-f（x）即可
（2）找f（xn+1）与f（xn）的关系，得f（xn）的表达式
（3）利用等比数列的求和公式可得不等式的左边，再利用分离常数法把不等式的右边整理即可得结论
解答：（Ⅰ）证明：令x=y=0，∴2f（0）=f（0），∴f（0）=0
令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（0）=0
∴f（x）+f（-x）=0∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）为奇函数（4分）
（Ⅱ）解：f（x1）=f（）=-1，f（xn+1）=f（）=f（）=f（xn）+f（xn）=2f（xn）
∴=2即{f（xn）}是以-1为首项，2为公比的等比数列
∴f（xn）=-2n-1
（Ⅲ）解：=
而
∴
点评：证明抽象函数的奇偶性，须利用函数奇偶性的定义，找准方向，巧妙赋值，合理，灵活变形，找出f（-x）与f（x）的关系．
练习册系列答案
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已知f（x）在（-1，1）上有定义，f(
1
2
)=1，且满足x，y∈（-1，1）有f(x)-f(y)=f(
x-y
1-xy
)．对数列{xn}有x1=
1
2
，xn+1=
2xn
1+
x
2
n
(n∈N*)
（1）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数．
（2）求f（xn）的表达式．
（3）是否存在自然数m，使得对于任意n∈N*且
1
f(x1)
+
1
f(x2)
+…+
1
f(xn)
＜
m-8
4
成立？若存在，求出m的最小值．
已知f（x）在（-1，1）上有定义，f（
1
2
）=-1，且满足x，y∈（-1，1）有f（x）+f（y）=f（
x+y
1+xy
）
（1）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数；?
（2）对数列x1=
1
2
，xn+1=
2xn
1+xn2
，求f（xn）；?
（3）求证
1
f(x1)
+
1
f(x2)
+…+
1
f(xn)
＞-
2n+5
n+2
已知f（x）在（-1，1）上有定义，f(
1
2
)=-1且满足x，y∈（-1，1）时，有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)
（1）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数．
（2）数列{an}满足a1=
1
2
，an+1=
2an
1+an2
，xn=f（an），求{xn}的通项公式．
（3）求证：1+f(
1
5
)+f(
1
11
)+…+f(
1
n2+3n+1
)=-f(
1
n+2
)．
已知f（x）在（-1，1）上有定义，，且满足x，y∈（-1，1）有．对数列{xn}有
（1）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数．
（2）求f（xn）的表达式．
（3）是否存在自然数m，使得对于任意n∈N*且＜成立？若存在，求出m的最小值．
已知f（x）在（-1，1）上有定义，，且满足x，y∈（-1，1）有．对数列{xn}有
（1）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数．
（2）求f（xn）的表达式．
（3）是否存在自然数m，使得对于任意n∈N*且＜成立？若存在，求出m的最小值．

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