Question

已知f（x）在（-1，1）上有定义，f（

1

2

）=-1，且满足x，y∈（-1，1）有f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

）
（1）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数；?
（2）对数列x₁=

1

2

，x_n+1=

2xn

1+xn2

，求f（x_n）；?
（3）求证

1

f(x1)

+

1

f(x2)

+…+

1

f(xn)

＞-

2n+5

n+2

Answer 1

分析：（1）利用题中条件找出f（-x）=-f（x）即可
（2）找f（x_n+1）与f（x_n）的关系，得f（x_n）的表达式
（3）利用等比数列的求和公式可得不等式的左边，再利用分离常数法把不等式的右边整理即可得结论

解答：（Ⅰ）证明：令x=y=0，∴2f（0）=f（0），∴f（0）=0
令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（0）=0
∴f（x）+f（-x）=0∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）为奇函数（4分）
（Ⅱ）解：f（x₁）=f（

1

2

）=-1，f（x_n+1）=f（

2xn

1+xn2

）=f（

xn+xn

1+xn•x n

）=f（x_n）+f（x_n）=2f（x_n）
∴

f(xn+1)

f(xn)

=2即{f（x_n）}是以-1为首项，2为公比的等比数列
∴f（x_n）=-2^n-1
（Ⅲ）解：

1

f(x1)

+

1

f(x2)

++

1

f(xn)

=(1+

1

2

+

1

22

++

1

2n-1

)=-

1- 1 2n

1- 1 2

=-(2-

1

2n-1

)=-2+

1

2n-1

＞-2
而-

2n+5

n+2

=-(2+

1

n+2

)=-2-

1

n+2

＜-2
∴

1

f(x1)

+

1

f(x2)

++

1

f(xn)

＞-

2n+5

n+2

点评：证明抽象函数的奇偶性，须利用函数奇偶性的定义，找准方向，巧妙赋值，合理，灵活变形，找出f（-x）与f（x）的关系．