Question

4．如图所示，在一半径等于1千米的圆弧及直线段道路AB围成的区域内计划建一条商业街，其起点和终点均在道路AB上，街道由两条平行于对称轴l且关于l对称的两线段EF、CD，及夹在两线段EF、CD间的弧组成．若商业街在两线段EF、CD上收益为每千米2a元，在两线段EF、CD间的弧上收益为每千米a元．已知$∠AOB=\frac{π}{2}$，设∠EOD=2θ，
（1）将商业街的总收益f（θ）表示为θ的函数；
（2）求商业街的总收益的最大值．

Answer 1

分析 （1）①求出θ∈（0，$\frac{π}{4}$]时f（θ）的解析式；
②求出θ∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）时f（θ）的解析式，
利用分段函数写出f（θ）在（0，$\frac{π}{2}$）上的解析式；
（2）利用导数研究函数f（θ）在（0，$\frac{π}{2}$）上的单调性并求出最大值．

解答 解：（1）①当θ∈（0，$\frac{π}{4}$]时，ED=2θ，EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+cosθ；
∴f（θ）=2aθ+2a（$\sqrt{2}$+2cosθ）；
②当θ∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）时，ED+FA+BC=4θ-$\frac{π}{2}$，EF=2cosθ；
∴f（θ）=（4θ-$\frac{π}{2}$）a+2a（4cosθ）；
由①②可得，f（θ）=$\left\{\begin{array}{l}{2a（θ+\sqrt{2}+2cosθ），θ∈（0，\frac{π}{4}]}\\{a（4θ-\frac{π}{4}+8cosθ），θ∈（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）}\end{array}\right.$；
（2）①当θ∈（0，$\frac{π}{4}$]时，f′（θ）=2a（1-2sinθ）；
由a＞0，填表如下：

θ	（0，$\frac{π}{6}$]	$\frac{π}{6}$	（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$）
f′（θ）	+	0	-
f（θ）	单调递增	极大值	单调递减

∴当θ=$\frac{π}{6}$时，f（θ）有最大值为（2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{3}$+$\frac{π}{3}$）a；
②当θ∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）时，f′（θ）=a（4-8sinθ）；
∵a＞0，且sinθ∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），
∴f′（θ）=a（4-8sinθ）＜0，
∴f（θ）在θ∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）时单调递减，
∴f（θ）＜f（$\frac{π}{4}$）；
又∵f（$\frac{π}{4}$）＜f（$\frac{π}{6}$），
∴当θ∈（0，$\frac{π}{2}$）时，在θ=$\frac{π}{6}$时f（θ）取得最大值为（2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{3}$+$\frac{π}{3}$）a；
即θ=$\frac{π}{6}$时，商业街总收益最大，最大值为（2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{3}$+$\frac{π}{3}$）a．

点评 本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了用导数研究函数的单调性与最值问题，是难题．