Question

某光学仪器厂有一条价值为万元的激光器生产线，计划通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值. 经过市场调查，产品的增加值万元与技术改造投入万元之间满足：①与成正比；②当时，，并且技术改造投入满足，其中为常数且.

（I）求表达式及定义域；

（II）求技术改造之后，产品增加值的最大值及相应的值.

Answer 1

解：（I）设.

  由时，可得.

  所以.          ………………………………………………………3分

  由解得.

  所以函数的定义域为.      ………………………………6分

（II）由（I）知，所以.

  令得.      ………………………………………………………………8分

  因为，所以，即.

  当时，，函数是增函数；

  当时，，函数是减函数.   ……………………………11分

  所以当时，函数取得最大值，且最大值是.  …………………..13分

  所以，时，投入万元最大增加值万元.    ………………………14分