Question

已知定点及椭圆,过点的动直线与椭圆相交于两点．
（1）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；
（2）在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：
（1）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为,
将代入,
消去整理得，         …………………  2 分
设,

① ②

则                     

由线段中点的横坐标是，
得，解得，适合①
所以直线的方程为或； ……………… 5分
（2）假设在轴上存在点，使为常数．
（ⅰ）当直线与轴不垂直时，由（1）知
 ，  ③
所以
；       …………………………7分
将③代入，整理得

 ，     
注意到是与无关的常数，从而有，
此时 ；       ……………………………………………… 10分
（ⅱ）当直线与轴垂直时，此时点的坐标分别为，
当时，亦有 ；
综上，在轴上存在定点，使为常数. ……………  12分

略